Artículos y Papers
Autor: Marco Arratia H. Mechanical Eng.6 ago 2006
Marco Arratia H. Lic. Cs Ing., Héctor Noriega F. Ph.D. Sc.
Universidad Austral de Chile, Facultad de Ciencias de la Ingeniería, Escuela de Ingeniería Mecánica.
Gral. Lagos 2086, Teléfono 56-63-221877, Fax 56-63-221876,
e-mail: marratia@fci.uach.cl - hnoriega@uach.cl
Valdivia– Chile.
El siguiente estudio presenta y discute un modelo matemático empírico para estimar la vida útil de los revestimientos de acero utilizados en molinos semiautógenos (SAG), vida útil que está delimitada principalmente por el desgaste. El modelo matemático diseñado e implementado para la planta SAG de la División Andina de Codelco Chile, tiene como principal finalidad el desarrollo de un algoritmo programable que permita predecir en el tiempo una estimación de la vida útil de los revestimientos del molino, en base a los datos observados de las mediciones de desgaste de los revestimientos y la molienda (tonelaje) producida por estos; estas variables principales se ajustan mediante mínimos cuadrados, a una relación funcional del tipo curvilínea, obteniéndose numéricamente un intervalo de las probables fechas de reemplazo basado del análisis estadístico de los datos productivos históricos de planta. Se presentan resultados del modelo propuesto, programado en Matlab, los que demuestran lo apropiado del modelo en predecir el proceso de desgaste, además de describir gráfica y numéricamente las curvas y niveles de desgaste versus el tonelaje tratado o su tiempo de utilización, validando estos en contraste a los valores reales observados en terreno y los históricos registrados. Referente a la aplicación de los resultados obtenidos, una de las conclusiones más relevantes es su contribución a la gestión del mantenimiento, como una fuente de información para planificar y programar las futuras mantenciones por reemplazo de revestimientos, las cuales influyen directamente en la disponibilidad del molino y de la planta concentradora en general.
The following work presents and discusses a mathematical empirical model to estimate the useful life of the steel linings used in mills semiautogenous (SAG), useful life that this defined mainly by the wear. The mathematical modeling designed and implemented for the plant SAG of the Andina Division of Codelco Chile, has as main purpose the development of a programmable algorithm that allows to predict in the time an estimate of the useful life of the liners of the mill, based on the observed data of the mensurations of wear of the liners and the grinding (tonnage) taken place by these; these main variables are adjusted by means of least square, to a functional relationship of the curvilinear type, being obtained numerically an interval of the probable dates of the replaced based of the statistical analysis of the historical productive data of plant. Results presented of the model proposed, programmed in Matlab, those that demonstrate that adapted of the model in predicting the wear process, besides describing graphic and numerically the curves and wear levels versus the treated tonnage or their time of use, validating these in contrast to the real values observed in land and the historical ones registered. With respect to the application of the obtained results, one of the most outstanding conclusions is their contribution to the administration of the maintenance, like a source of information to plan and to program the future maintenance for replacement of the liners, which influence directly in the availability of the mill and of the plant concentrator mine in general.
Keywords: Wear liners mill SAG (semiautogenous grinding); Model mathematical estimate the useful life
Chile posee aproximadamente el 40% de las reservas en mineral de cobre mundialmente conocidas, distribuidas a lo largo y ancho de nuestro país; minería liderada por la Corporación Nacional del Cobre de Chile (CODELCO) que posee y controla aproximadamente el 17% de las reservas nacionales de mineral. Su misión es generar excedentes económicos como aporte al Estado. Para cumplir con estos objetivos, debe mantenerse y consolidarse como uno de los productores de cobre más competitivos a escala mundial, administrando en forma eficiente sus recursos. Con este motivo Codelco ha invertido en sus diferentes divisiones mineras millones de dólares en tecnologías, con el propósito de duplicar el nivel de producción, y disminuir los costos de operación.
Una de las principales inversiones tecnológicas son los molinos semiautógenos (SAG), basándose en sus ventajes en costos de inversión y operación, con una mayor capacidad carga, tratamiento y conminución de mineral. Estos molinos utilizan revestimientos de acero que actúan como elementos de molienda, protección y desgaste. La vida útil de estos revestimientos está delimitada y determinada principalmente por el desgaste que sufren en operación durante el proceso de molienda, siendo la causa más relevante de indisponibilidad del molino la inspección y reemplazo de revestimientos gastados los cuales inciden directamente en sus costos de operación y metas productivas. Los principales mecanismos y elementos de desgaste a que están sometidos son la abrasión, impactos y corrosión.
Bibliográficamente se han publicado y propuesto modelos de naturaleza empírica y determinista para describir y determinar el desgaste y las vidas útiles de los revestimientos (Magne 2003., Hoearsd 2002), modelos basados y asumidos matemáticamente mediante relaciones lineales, en el tiempo (o el tonelaje). Esto a generado que actualmente muchas plantas concentradoras y de molienda SAG, analicen y proyecten las mediciones de desgaste, de sus revestimientos por medio de regresiones lineales sencillas e idealizadas del fenómeno, que no representan cabalmente el comportamiento del revestimiento frente al desgaste que está sometido durante su vida útil. Situación que en la práctica entrega proyecciones y estimaciones imprecisas de las fechas de reemplazo en contraste a los resultados reales observados en terreno. Relaciones lineales que solo pueden ser usadas en términos referenciales, por lo inadecuado en término de los numerosos factores que intervienen en la dinámica de molienda y el fenómeno propio del desgaste.
Esta problemática motivó la formulación de un nuevo modelo matemático empírico, basado en una relación funcional del tipo curvilínea que permita estimar la vida útil de los revestimientos del molino (SAG). Modelación que tiene como principal finalidad el diseño de un algoritmo programable, basado metodologías matemático-estadísticas para analizar los datos apareados observados de las mediciones del desgaste de revestimientos, y de la molienda producida por estos (tonelaje); estimando en base a estas variables, los parámetros de mejor ajuste a la relación funcional propuesta, mediante mínimos cuadrados, relación capaz de predecir y describir el proceso o fenómeno del desgaste en función de las toneladas y el tiempo.
El modelo matemático propuesto se utilizo y probó con éxito, el año 2005, en todos los revestimientos de acero del molino SAG, perteneciente al concentrador de la División Andina de Codelco-Chile. Se obtuvieron resultados favorables en las predicciones y estimaciones de la vida útil de estos revestimientos, determinando para cada uno, intervalos de las probables fechas de reemplazo; sugiriendo así, la planificación y programación de las fechas de mantención, las cuales influyen directamente en la disponibilidad del molino y de la planta concentradora en general.
El objetivo del presente trabajo es determinar específicamente la vida útil de los revestimientos del molino SAG, valor(es) deducido(s) a partir de las observaciones de los datos apareados, recolectados de las mediciones del desgaste (Di) y las kilo-toneladas (ki) de mineral procesados por tales revestimientos (molienda) al momento de efectuada la medición.
Por lo expuesto en el planteamiento de los objetivos de este trabajo, se delimita el problema a construir un modelo matemático, capaz de predecir la vida útil de los revestimientos y describir la evolución de su desgaste. Modelamiento basado en una relación funcional ajustada mediante análisis de regresión.
Un primer paso en el análisis de regresión con dos variables es trazar un diagrama de dispersión de los datos observados (Devore 2001), correspondientes a los datos recolectados del desgaste (Di) y las kilo-toneladas (ki) de mineral procesados (molienda) al momento de medir. Ostle (1979) destaca que el objeto de los diagramas de dispersión consiste, precisamente, en poner de manifiesto la existencia de una relación entre las variables.
FIGURA Nº 2 Ejemplo de patrones recurrentes en diagramas de puntos (ki,Di) observados en lifter y placas de coraza exterior, tapa alimentación (ver FIGURA Nº 3). No obstante existen modelos de ajuste no lineales, llamados intrínsicamente lineales (Devore, 2001), puesto que es posible transformar (linealizar) una o ambas variables mediante logaritmos u otra propiedades matemáticas, con el objeto que la relación entre estas nuevas variables sea lineal. Ostle (1979) señala textual “que una vez que se a juzgado que el modelo lineal es inadecuado, el investigador esta obligado a considerar el ajuste de algún modo no lineal. Esto es, el debe intentar descubrir un modelo matemático no determinista (empírico) diferente que describa o represente mejor las observaciones”
Uno de los modelos no lineales en su forma gráfica, es la función de regresión polinomial, la cual no es linealizable directamente por medio de la aplicación de una propiedad matemática; la dificultad de este tipo de función de regresión surge, no por la no linealidad de los parámetros de ajuste, si no por la no linealidad de la variable independiente (Chard, 1997).
Se define una relación funcional entre el desgaste (Di) en función de las kilo-toneladas (ki), relación en la cual la variable dependiente respuesta es (Di) y la variable independiente regresora es (ki). Para modelar la forma funcional de la regresión de (Di) sobre (ki), supondremos que la relación subyacente entre estas dos variables es linealmente independiente, continua y derivable en el intervalo de reales positivos desde [0,Infinito+] (propiedades estables), en la medida que tenga un desarrollo en serie de Taylor (Chard, 1997. Martínez, 1998).
Di = Desgaste medido en porcentaje con respecto a su dimensión real (mm).
ki = Mineral tratado por el revestimiento en Kilo-toneladas (kton).
βi = Representa los coeficientes o parámetros estimados de ajuste.
εi = Representa el error o la variación del el modelo descriptivo.
Relación funcional en la cual (βi) representa los coeficientes o parámetros numéricos estimados de ajuste. El error residual (εi) representa la variación que no puede ser explicada por el modelo estimado, corresponde a las diferencias entre las observaciones reales y asumidas independientemente distribuidas (Czitrom, 2002. Devore, 2001).
Esta relación funcional será el modelo matemático empírico usado para determinar la vida útil de los revestimientos del molino SAG. Además de describir y predecir los rendimientos y fenómenos del desgaste en el tiempo de operación.
En la práctica puede ser difícil determinar el grado del polinomio a hacer ajustado al conjunto de datos apareados, ya que siempre es posible encontrar uno o más grados para el polinomio (n), este grado puede ser determinado por simple inspección visual del número de datos, ya que es posible ajustar un polinomio de grado, cuando más, de (N-1) puntos que pasen por cada uno de los (N) puntos correspondientes a (n) valores distintos de la variable; también puede determinarse el grado por un criterio más riguroso como el método de mínimos cuadrados (Chard, 1997).
Chard (1997) menciona que en la realidad lo que se busca es un polinomio del menor grado posible que describa “adecuadamente” los datos. Respecto a esta problemática Porta Nova (1999) señala que idealmente la selección del grado del polinomio o tipo de curva debe estar basada principalmente en el diagrama de dispersión de los datos apareados, reiterando que lo “usual es lo visual” esto basado en justificaciones físicas propias e inherentes del problema en cuestión.
Considerando lo anterior se ha deducido conjuntamente de la experiencia en planta (Alarcón, 2005. Rivera, 2005) y de los diagramas de dispersión, que el grado de la función que describe el desgaste en las zonas de placas y lifters de los revestimientos puede definirse por n=2 y n=4 respectivamente.
FIGURA Nº 3 Polinomios de comportamiento del desgaste, de ejemplo FIG. Nº 0
La teoría clásica del ajuste de curvas por medio de regresión se basa en el método de los mínimos cuadrados. Ostle (1979) destaca, que de hecho si se hace la suposición de normalidad, el método de los mínimos cuadrados es equivalente al de máxima probabilidad, contrastado con otras técnicas sistemáticas de ajuste de curvas y estimación de parámetros.
Chasin (1998) expresa que el análisis de regresión por medio de mínimos cuadrados requiere el cumplimiento de una serie de supuestos referentes al error residual necesarios para su aplicación al considerar un conjunto de datos apareados consistente en (N) puntos (ki,Di), se deben establecer teóricamente los siguientes supuestos:
· El error existe sólo en la variable dependiente respuesta (Di), y no en la variable independiente regresora (ki).
· El error residual (εi) es una variable aleatoria normalmente distribuida, que posee una distribución normal (Gaussiana) con medias cero μ=0 y varianza constante σ²=cte, representado como εi ~N(μ,σ²).
FIGURA Nº 4 Distribución Gaussiana de error residual (εi) de (Di) para un valor (ki). 
FIGURA Nº 5 Desviaciones de los datos observados del modelo de regresión estimado. Diferenciando parcialmente (εi), la expresión (2) con respecto a las parámetros βi; β0,β1,β2,...,βn e igualando esas derivadas a cero, (∂ε/∂βi)=0 se obtiene:
Así se obtiene un sistema de ecuaciones lineales normales no homogéneas con (n) incógnitas βi; β0, β1,β2,….,βn, que se obtienen al igualar a cero las derivadas parciales de (ε) respecto de (βi), para i = 0,1,2,…,n, son:
La frase “ecuaciones normales” se usa para describir a las ecuaciones que resultan de una derivación de los mínimos cuadrados, tales ecuaciones son lineales en respecto de sus incógnitas (Ostle, 1979. Montgomery, 1996. Devore, 2001).
Para obtener las soluciones únicas no triviales de las incógnitas β0,β1,β2,….,βn, (coeficientes o parámetros de regresión), utilizamos el método de ecuación matricial del álgebra lineal, entonces el sistema (4) anterior se escribe como:
Con:
[β] = matriz de las incógnitas.
[h] = matriz de las constantes.
n = Numero de incógnitas
Un criterio para determinar si una ecuación matricial (6) (o sistema de ecuaciones), tiene solución, utiliza el teorema Rouché-Frobenius, este teorema permite determinar si un sistema es consistente, y para ello basta calcular el rango “r” de la matriz aumentada r([Ah]) a una matriz escalonada que origine un sistema equivalente que permita hallar la(s) solución(es) del sistema de ecuaciones dado.
Una vez determinados los valores de la matriz de las incógnitas [β] vía métodos directos (matriz consistente) o [β] vía proyección ortogonal (matriz inconsistente), se obtienen los (n) mejores parámetros de ajuste βi; β0,β1,β2,….,βn, del modelo matemático o relación funcional (1) utilizada.
Este modelo matemático del desgaste, ecuación (1), proporciona gráficamente una curva polinómica la cual se intercepta con la recta (7) que representa el desgaste máximo admisible (δ), criterio de planta. Esto para obtener el valor que se adjudica (ki), al asumir un valor (Di). Es decir, se deduce el tonelaje que logra el revestimiento una vez alcanzado el porcentaje del desgaste máximo admisible, esta acción Figueroa (2004) la denomina como una predicción inversa.
FIGURA Nº 6 Punto intersección entre modelo de regresión y desgaste máximo admisible
Este sistema de ecuaciones (8) genera una nueva ecuación polinomial de grado superior (9) en la forma ƒ(k)=0 continua y derivable, en términos de (ki). En la cual para encontrar la primera raíz solución (punto intersección) de esta ecuación no lineal, podemos utilizar métodos numéricos (Olmos, 2004).
Una metodología de gran importancia y de implementación inmediata en lenguajes de programación son los métodos iterativos de sucesiones. Se utilizará el método iterativo de primer orden de aproximaciones sucesivas convergentes (Swokowski, 1999), llamado de punto fijo, para encontrar la raíz (cero) globalmente convergente (Martínez, 1998. Olmos, 2004). Raíz que corresponde al punto de intersección de la curva polinómica (1) y la recta, ecuación (7).
La idea es generar un algoritmo que comience con un método de convergencia global, y cuando las iteraciones se han aproximado cerca de la raíz, cambian a un método de convergencia local (Mathews, 1999).
El método de punto fijo es autocorrector ya que no depende del valor inicial tomado en el intervalo, así, un error individual en los cálculos que no esté por sobre los límites del intervalo no afecta al valor final pues puede considerarse como un nuevo punto inicial; sólo restringe o acota el número de iteraciones (Pérez, 2002).
Los métodos iterativos de sucesiones para encontrar una aproximación satisfactoria de la raíz solución, dependen de la determinación de un intervalo inicial; por ejemplo (u,v). En los cuales ƒ(u) y ƒ(v) tengan distinto signo y su producto (ƒ(u)ƒ(v)) sea menor que cero, una vez encontrado este intervalo no importa lo grande que sea, podemos comenzar a iterar hasta encontrar una raíz con la precisión deseada. Por esta razón se dice que estos métodos son globalmente convergentes (Olmos, 2004. Mathews, 1999).
De esta manera sustituyendo sucesivamente los valores a partir del punto inicial del intervalo (0,ќ), la sucesión (10) converge a un punto (λ), tal que f(λ)=0.
Es decir el valor del límite es la raíz solución aproximada (λ) de la ecuación (10), es una aproximación al punto de intersección de la curva polinómica (1) y la ecuación de la recta (7).
Para obtener una convergencia aun más exacta en términos del grado de precisión, el punto solución (λ), se someterá a una refinación mediante el método de Newton-Raphson. La solución de ecuaciones no lineales de la forma ƒ(k) = 0 por el método de Newton-Raphson, requiere como garantía de su convergencia, que el punto inicial (λ) este cerca de la raíz por lo que se dicen que son localmente convergentes (Mathews, 1999. Olmos, 2004).
Entonces la función (9) expresada como ƒ(k) = 0 continua en el intervalo (λ,ќ), con ƒ(λ)ƒ(ќ) menor que cero, con una única raíz solución en el intervalo (λ,ќ). Las derivadas ƒ(k)' y ƒ(k)'' son existentes, no nulas, continuas y conservando estas el mismo signo de cada una en dicho intervalo. Podemos aplicar el método de Newton-Raphson (11) para encontrar la raíz localmente convergente de forma rápida y efectiva mediante:
De esta manera sustituyendo sucesivamente los valores a partir del valor inicial (λ), la sucesión (11) continúa hasta alcanzar (converger) un valor (λ) con f(λ)=0 con la precisión deseada.
Este valor solución o punto de intersección (λ), corresponde a la molienda producida de manera normal, determinada al alcanzar desgaste máximo admisible (δ), gráficamente corresponde al punto (λ,δ), por lo tanto, éste es el valor de la vida útil productiva normal estimada del revestimiento.
FIGURA Nº 7 Punto intersección entre modelo de regresión.
Para una estimación puntual expresada como (μDk) de valores (Di), Devore (2001) indica que la desviación estándar calculada, estimada para cualquier valor de (ki) correspondiente es complicada, esto junto con una variable (t) estandarizada apropiada puede ser empleada para especificar un intervalo de confianza para esta estimación puntual. Si bien es posible programar una subrutina para estimar y manipular estas desviaciones para estimar el valor puntual, esto solo extenderá el código del algoritmo y por ende el tiempo de CPU utilizado en solucionarlo.
Por esta razón justificaremos el siguiente procedimiento, para determinar los intervalos de confianza (Ic) superior e inferior para una estimación puntual expresada como (μDk) de valores (Di), los limitaremos por el percentil normal estándar al 95% el cual fija un valor críticos Zα = 1.645, con (σD) desviación estándar de los valores (Di) y (N) número de datos o puntos (Devore 2001), expresado esto como un par de desigualdades (12), escrito de la siguiente manera:
Entonces es posible encontrar los valores de los intervalos de confianza al 95% para el valor desgaste máximo admisible (δ), es decir cuando Di=δ mediante la siguiente expresión (13):
Hasta aquí se ha desarrollado la regresión del desgaste (Di) sobre los valores de las kilotoneladas (ki) para predecir futuros valores del desgaste, incluidos sus intervalos de confianza o cotas de error. Sin embargo, el objetivo particular ha sido predecir el valor de la vida útil productiva normal (λ), al asumir que el revestimiento ha alcanzado el valor del desgaste máximo admisible (δ), ahora es necesario obtener o predecir los valores confidenciales para el valor (λ). 
La solución de sólo uno de estos sistemas (14), por ejemplo seleccionando el intervalo de confianza inferior del valor (δ); bastará para converger al valor del límite superior al 95% del valor (λ), logrando así determinar la distancia horizontal (γ) entre el valor del punto (λ) que hemos denominado molienda normal y su límite superior al 95%.
FIGURA Nº 8 Puntos intersección entre limites de confianza del modelo de regresión y el desgaste máximo admisible.
Distancia (γ) que determinará los valores numéricos de los límites inferior y superior denominados pesimista y optimista respectivamente. De los cuales se desprende la siguiente aseveración al respecto de sus magnitudes: Pesimista, Normal y Optimista.
FIGURA Nº 9 Intervalos de confianza del modelo de regresión estimado.
Con:[(λ - γ)] = Molienda producida pesimista.
[(λ)] = Molienda producida normal.
[(λ + γ)] = Molienda producida optimista.
La vida útil de los revestimientos, en términos su permanencia en el tiempo, es decir los meses de duración, se encuentran definidos por Ic = [(λ ± γ) / μm], con (µm) molienda mensual estimada; determinada con anterioridad en el análisis de los datos productivos. Con los siguientes intervalos (16) estimados:
Con:
[(λ – γ) / μm] = Duración estimada pesimista.
[(λ / μm)] = Duración estimada normal.
[(λ + γ) / μm] = Duración estimada optimista.
Para determinar las fechas de recambio estimadas se necesita solamente sumar la fecha de montaje del revestimiento, a cada uno de los intervalos de duración dados en (16) para el revestimiento analizado, obteniendo de este resultado las fechas en número de meses y días.
De esta manera es posible determinar la vida útil de los revestimientos, expresados en: su duración en el tiempo, rendimientos en términos productivos y en terminos de sus fechas de recambio estimadas. Todos deducidos matemáticamente del conjunto datos observados registrados de los revestimientos en operación.
DETERMINACION DE LAS TASAS DE DESGASTE
La tasa de desgaste se deduce matemáticamente de relación funcional del desgaste, en función de las toneladas de mineral tratado, la cual se encuentra definida por (1), con (n) grado de la función definida por n=2 y n=4 para las zonas de placas y lifters de los revestimientos.
Conceptualmente se trabajan con las variables de desgaste medido en porcentaje con respecto a su dimensión real en (mm) y el mineral tratado en unidad de kilo-toneladas (kton). Implícitamente las unidades de mineral tratado pueden ser obtenidas multiplicando los días o meses de cada medición desde el montaje del revestimiento, por la molienda diaria estimada (µd) o la molienda mensual estimada (µm) determinada con anterioridad en el análisis de los datos productivos.
Matemáticamente es posible estudiar las razones de cambio o tasas de variación con respecto a las variables, que físicamente representen una cantidad o concepto (tiempo) en unidades de medición, de cualquier relación funcional (Swokowski, 1999. Sears et al., 1998). Por lo tanto, las razones de cambio o tasas de variación de la relación funcional entre el desgaste (Di) en función de las kilo-toneladas (ki), pueden ser determinadas por medio de la primera derivada (dD/dki) de la función modelo (1) que describe el desgaste, queda definida (17) por:
La expresión (17) es linealmente independiente, continua y derivable ya que proviene de un desarrollo en serie de Taylor (Martínez, 1998).
Swokowski (1999) indica que si la variable independiente (ki) cambia, entonces la variable dependiente (Di) cambia a razón de (dD/dki) unidades de cambio de (ki). Esta razón de variación del desgaste es asumida en unidades (Δ%mm / kton).
Para determinar las tasas de desgaste en el transcurso de los meses en operación (en el tiempo), es necesario determinar los valores de las tasas de variación del desgaste en unidades de (Δ%mm / mes), motivo por el cual se establecerá a continuación la siguiente proposición:
"La tasa de desgaste (Td) se determinará mediante el producto escalar entre la molienda mensual estimada (µm) y la magnitud absoluta de la tasa de variación (dD/dKi)". Matemáticamente la tasa de desgaste (Td) queda representada por (18) dada en la siguiente expresión:
Esto es:
Con unidades:
(dD/dki) = (Δ% / kton) Tasa de desgaste en función de las kilo-toneladas.
(dD/dt) = (Δ%mm / mes) Tasa de desgaste en función del tiempo.
Finalmente el modelo matemático es capaz de predecir la vida útil de los revestimientos del molino SAG y describir gráfica y numéricamente su comportamiento frente al desgaste que sufre dentro del proceso de molienda. La solución de tales objetivos ha sido alcanzada mediante un conjunto finito de instrucciones y pasos estadísticos y matemáticos, descritos en su totalidad como un algoritmo ejecutable.
El lenguaje de programación que se utilizará para manipular numérica y gráficamente el modelo, es el software Matlab, el cual proporciona un gran número de funciones y herramientas interactivas graficas para el desarrollo de algoritmos de análisis matemático y estadístico de datos (Elden et al., 2004. Pérez, 2002. Mathews, 1999).
PROGRAMA COMPUTACIONAL Y LENGUAJE DE PROGRAMACION
En general el programa fue desarrollado teniendo en cuenta en que fuese de fácil manejo en las secuencias de despliegue gráfico e información entregada en un entorno de ambiente amigable. Siendo el objetivo del programa evaluar el algoritmo desarrollado para poder ser implementado como una herramienta computacional definitiva, de análisis de los datos, que determine la evolución del desgaste y estimar la vida útil de los revestimientos del molino SAG por parte del personal de mantención mecánica de la planta.
El programa fue completamente desarrollado en lenguaje Matlab, utilizando la versión 7.0 del editor the MathWorks, aparecido a mediados del año 2004. El cual es un lenguaje plenamente vigente de programación técnica que posibilita la ejecución del cálculo numérico y simbólico de forma rápida y precisa, con gráficas y visualizaciones avanzadas. Es un software de continuo crecimiento y adaptable a los avances científicos y tecnológicos, para resolver los problemas de ciencia y la ingeniería en el desarrollo de productos innovadores (Pérez, 2002. García, 2005).
El programa Matlab se encuentra debidamente certificado bajo licencia por la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la Universidad Austral de Chile y por la División Andina de Codelco Chile.
La estructura de los cálculos necesarios para una generación de resultados, responde a la siguiente secuencia de órdenes o pasos:
Lectura de datos ingresados Planilla XLS (Inputs)
· Fecha de generación al instante de efectuar el análisis.
· Fecha de montaje del revestimiento.
· Molienda al momento de medir ultrasonido (kton).
· Mediciones desgaste ultrasonido (mm.).
· Altura original lifters o espesor original de placa del revestimiento.
· Nº de Puntos.
· Desgaste máximo admisible en porcentaje %.
· Molienda mensual estimada (kton/mes).
· Molienda diaria estimada (kton/día).
Ejecución secuencial del Algoritmo, Matlab
SALIDA DE DATOS xls y doc. (Outputs)
1. Resultados visibles en cada GUI (.fig) correspondiente a cada revestimiento (ver Fig. Nº 12):
· Fecha de montaje del revestimiento.
· Resultados de las probables fechas de recambio.
· Resultados de vida útil de revestimiento N° meses.
· Resultados de vida útil de revestimiento en kton.
· Gráfico (%) desgaste versus kton.
· Gráfico tasas desgaste versus Nº meses.
2. Un informe Microsoft Word (.doc) completo del estado del revestimiento (ver Fig. Nº 14):
· Gráfico (%) desgaste versus kton.
· Gráfico tasas desgaste versus Nº meses.
· Desgaste máximo admisible en porcentaje %.
· Altura original lifters o espesor original de placa del revestimiento.
· Desgaste a la fecha.
· Tonelaje a la fecha.
· Fecha de montaje del revestimiento.
· Probables fechas de recambio.
· Vida útil de revestimiento N° meses.
· Vida útil de revestimiento en kton.
· Fecha y hora del día de efectuado el análisis.
ESTRUCTURA DEL PROGRAMA
El programa fue desarrollado utilizando el GUIDE (Graphical User Interface Development Environment) que es una serie de herramientas que proporciona Matlab para la creación de GUIs (Graphical User Interface), cada GUI posee su propio editor de ficheros *.m (M-file Editor), que son ficheros de texto sin formato (ficheros ASCII) que constituyen el centro de la programación en Matlab, con estos se pueden añadir códigos a las funciones “callback” correspondientes a cada componente de las GUIs.
La pantalla principal del programa, (Fig. Nº 10) demuestra que a través de esta, se pueden seleccionar diversas operaciones, pulsando directamente los botones de los revestimientos del molino SAG que se desea analizar o consultar: las tapas y cilindro. Existen además botones adicionales que permiten acceder a los revestimientos de los molinos de bolas del circuito SAG.
MODO DE TRABAJO DEL PROGRAMA
Las mediciones ultrasónicas del desgaste recolectadas, son descargadas al computador, registrando estos datos a una hoja de cálculo Excel (formato .xls), la cual, es la fuente de información del programa. El programa trabaja en base a los datos ingresados en las planillas Excel con los datos registrados, los cuales contemplan las de las mediciones del desgaste, los tonelajes tratados, las fechas en que se efectuaron tales mediciones como las de montaje, y las características totales de los revestimientos de molino SAG y de los molinos de bolas-SAG.
El programa desarrollado en Matlab trabaja vinculado bidireccionalmente a formatos Microsoft Excel y Word (.xls y .doc), y fue estructurado en base a subprogramas correspondientes a cada uno de los revestimientos del molino, estos a su vez coordinados por un programa central, el cual ordena la secuencia de despliegue de pantallas GUIs, cálculos, gráficos e información de los resultados.
SIMULACIÓN DEL PROGRAMA DESARROLLADO
El modelo matemático descrito en las secciones anteriores, ahora programado como un algoritmo en lenguaje Matlab, se someterá a una simulación, a modo de aplicar y analizar los los datos y resultados obtenidos, con los datos ya existentes. El programa fue aplicado a un revestimiento del tipo “Parrilla de descarga” ver Fig. Nº 11, que presenta los siguientes datos de desgaste en la zona del lifter.
FIGURA Nº 11 Puntos de medición del lifter de la Parrilla.
CUADRO Nº1 Puntos de medición del desgaste (mm) de lifter en la Parrilla.
Los valores del Cuadro Nº 1, fueron escogidos solo para ilustrar la aplicación del modelo y programa computacional en discusión y no tienen ningún significado práctico relevante. Sin embargo, son valores reales típicos del desgaste en revestimientos en molinos SAG.
Características y condiciones del revestimiento (Inputs):
· Fecha de montaje revestimiento = 5/enero/2005
· Altura mínima original de lifter (mm) = 306 (mm)
Datos productivos (Inputs):
· Molienda programada anual = (µa) ≈ 12756 (kton/año)
· Molienda mensual estimada = (µm) ≈ 1063 (kton/mes)
· Molienda diaria estimada = (µd) ≈ 35.6 (kton/dia)
Criterios de planta (Inputs):
· Desgaste máximo admisible = 80%
· Tonelaje último = 14000 (kton).
FIGURA Nº 12 Visualización gráfica y numérica del análisis ejecutado por el programa.
FIGURA Nº 13 Gráficos de análisis de residuales.
FIGURA Nº 14 Formato de informe de resultados específicos, entregado por el programa.
CONCLUSIONES
En el modelamiento matemático se consideraron y seleccionaron propiedades matemáticas basadas en la serie Taylor, así como teorías y metodologías matemáticas ampliamente utilizadas, probadas y efectivas a nivel científico y tecnológico. La relación funcional propuesta, del tipo curvilínea, Fue basada en la observación de los diagramas de dispersión de los datos apareados de las mediciones del desgaste y el tonelaje.
El modelo matemático desarrollado es capaz de predecir y estimar numéricamente la vida útil de los revestimientos del molino SAG en términos de sus rendimientos productivos y tiempos de duración, determinando de estos sus probables fechas de recambio. Además describe numérica y gráficamente la forma y el comportamiento de los revestimientos frente al fenómeno del desgaste que sufre dentro del proceso de molienda, en el transcurso de su vida útil. Esto basado en la observación de los gráficos generados del desgaste versus el tonelaje tratado, conjuntamente con los gráficos de las tasas de desgaste versus los meses transcurridos, los cuales reflejan fielmente la forma y comportamiento de los datos apareados observados. La resolución de tales objetivos ha sido alcanzada mediante un conjunto finito de instrucciones y pasos estadísticos y matemáticos planteados para resolver el problema.
El modelo fue desarrollado en lenguaje Matlab V 7.0 para ser ejecutado como un programa mediante interfases gráfica de usuario, desplegando un conjunto de pantallas y botones que generan los resultados visibles gráfica y numéricamente en ellas, con la opción de guardar la información y generar automáticamente sus respectivos informes técnicos. Así el programa demuestra la factibilidad técnica modelo matemático propuesto.
Desde el punto de vista de la ingeniería la solución propuesta permite un rápido y eficaz análisis, diagnóstico y conocimiento del estado y evolución del desgaste de los revestimientos. Además, el solo hecho de conocer la predicción, expresada en intervalos confianza de las probables fechas de recambio de los revestimientos, permite programar y planificar fechas de mantención general de la planta SAG. Estos resultados, sumados a los conocimientos atribuidos a la experiencia, son la base de la toma de decisiones y acciones futuras realizar, por parte de los ingenieros supervisores y analistas de mantención. También es posible contrastar la duración y rendimientos productivos que ofrecen los proveedores y fabricantes de revestimientos, con los datos estimados por el algoritmo propuesto.
Si la plataforma CPU cumple con los requisitos mínimos exigidos por el software Matlab, estos cálculos solo toman de 50 segundos a 2 minutos por análisis.
AGRADECIMIENTOS
Esta investigación fue desarrollada por Marco Arratia H. Licenciado en Ciencias de la Ingeniería, en conformidad para la obtención del titulo profesional de Ingeniero Mecánico, con el apoyo institucional de la Universidad Austral de Chile UACH, y la División Andina de la Corporación Nacional del Cobre de Chile CODELCO, para su materialización través del programa beca convenio de alumnos memoristas.
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